Solución final
Solución problema lata
Obtener el mínimo de metal para crear una lata
v=πr^2h
P=(2π〖r)〗^2+2h
P=4πr^2+2h
P=(P-4πr)/2
A=2πr
A=2πr((P-4πr)/2)
A=(2πrP-8π^2 r^2)/2
A=πrP-4π^2 r^2
D"A=πP-8π^2 r
D"=-8π^2 máximo en r=p/8π
R=πP/(8π^2 )
R=P/8π
A=πP*P-4π^2 (〖P/8)〗^2
A=(〖P/8)〗^2-4π^2 (P/(64π^2 ) )^2
A=(〖P/8)〗^2-(〖P/16)〗^2
A=π〖(P)〗^2 [1/8-1/16]
A=(〖P/16)〗^2
2/16=1/16
A=((〖P)〗^2)/16
Comprobación
P=4πr+2h⟶h= (P-4πr)/2
A=(〖(P〗^2))/16
R=P/8π⟶2= P/8π
A=〖(16π)〗^2/16= (256 π^2)/16
A=16π^2
16π=P→P=16π
h=16π-8π
h=〖(8π)〗^2/2→h=4π
lunes, 8 de noviembre de 2010
Optimización 2
Acercamiento al problema
La posible solución o acercamiento al problema planteado.
Se pretende fabricar una lata de conserva cilíndrica (con tapa) de 1 litro de capacidad. ¿Cuáles deben ser sus dimensiones para que se utilice el mínimo posible de metal?
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
Acercamiento al problema
La posible solución o acercamiento al problema planteado.
Se pretende fabricar una lata de conserva cilíndrica (con tapa) de 1 litro de capacidad. ¿Cuáles deben ser sus dimensiones para que se utilice el mínimo posible de metal?
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
Optimización
La optimización o programación matemática intenta dar respuesta a un tipo general de problemas donde se desea elegir el mejor entre un conjunto de elementos. En su forma más simple, el problema equivale a resolver una ecuación de este tipo:
Un problema de optimización consiste en minimizar o maximizar el valor de una variable. En otras Palabras se trata de calcular o determinar el valor mínimo o el valor máximo de una función de una variable.
Un triángulo isósceles de perímetro 30 cm, gira alrededor de su altura engendrando un cono. ¿Qué valor debe darse a la base para que el volumen del cono sea máximo?
Triángulo
Resolución
Resolución
Resolución
Resolución
Resolución
Resolución
Resolución
Resolución
Derivada segunda
Derivada segunda
Derivada segunda
La optimización o programación matemática intenta dar respuesta a un tipo general de problemas donde se desea elegir el mejor entre un conjunto de elementos. En su forma más simple, el problema equivale a resolver una ecuación de este tipo:
Un problema de optimización consiste en minimizar o maximizar el valor de una variable. En otras Palabras se trata de calcular o determinar el valor mínimo o el valor máximo de una función de una variable.
Un triángulo isósceles de perímetro 30 cm, gira alrededor de su altura engendrando un cono. ¿Qué valor debe darse a la base para que el volumen del cono sea máximo?
Triángulo
Resolución
Resolución
Resolución
Resolución
Resolución
Resolución
Resolución
Resolución
Derivada segunda
Derivada segunda
Derivada segunda
Optimización
La optimización o programación matemática intenta dar respuesta a un tipo general de problemas donde se desea elegir el mejor entre un conjunto de elementos. En su forma más simple, el problema equivale a resolver una ecuación de este tipo:
Un problema de optimización consiste en minimizar o maximizar el valor de una variable. En otras Palabras se trata de calcular o determinar el valor mínimo o el valor máximo de una función de una variable.
La optimización o programación matemática intenta dar respuesta a un tipo general de problemas donde se desea elegir el mejor entre un conjunto de elementos. En su forma más simple, el problema equivale a resolver una ecuación de este tipo:
Un problema de optimización consiste en minimizar o maximizar el valor de una variable. En otras Palabras se trata de calcular o determinar el valor mínimo o el valor máximo de una función de una variable.
Criterios de la primera y segunda derivada y puntos criticos
Criterios de la primera derivada
La base del presente criterio radica en observar que los máximos o mínimos locales son consecuencia de observar los siguientes hechos:
1.- Cuando la derivada es positiva la función crece.
2.- Cuando la derivada es negativa la función decrece.
3.- Cuando la derivada es cero la función tiene un máximo o un mínimo.
Sea f(x) una función y c un número en su dominio. Supongamos que existe a y b con a
Entonces f tiene un máximo local en c.
Nótese que un criterio similar puede tenerse para obtener un mínimo local, solo es necesario intercambiar “positivo” por “negativo”.
Criterios de la segunda derivada
El Criterio o prueba de la segunda derivada es un teorema o método del cálculo matemático en el que se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba simple correspondiente a los máximos y mínimos relativos.
Se basa en el hecho de que si la gráfica de una función f es cóncava hacia arriba en un intervalo abierto que contiene a c, y f'(c) = 0,f(c)debe ser un mínimo relativo de f. De manera similar, si la gráfica de una función es cóncava hacia abajo en un intervalo abierto que contiene a c y f'(c) = 0,f(c)debe ser un máximo relativo de f.
Sea f una función tal que f'(c) = 0 y la segunda derivada de f existe en un intervalo abierto que contiene a c
1. Si f''(c) > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en (c,f(c)).
2. Si f''(c) < 0, entonces f tiene un máximo relativo en (c,f(c)). Si f''(c) = 0, entonces el criterio falla. Esto es, f quizás tenga un máximo relativo en c, un mínimo relativo en (c,f(c)) o ninguno de los dos. En tales casos, se puede utilizar el criterio de la primera derivada o el criterio de la tercera derivada. Ejemplo: Y= 20+e/3-2x exp3 Y=20+1/3e-2x exp3 Derivar Y’ =0+1/3*e-2x exp3*(-6x2) Y´=2x2*e-2x exp3 Se deriva nuevamente, esa es la segunda derivada: Y´´= -4x*e-2x exp3+ (-2x2)* e-2x exp3*(-6x2) a´ b a b´ y´´= -4xe-2x exp3+12x4e-2x exp3 Se puede factoríza. Puntos críticos Por punto crítico se entiende: un punto singular, un punto donde no exista la derivada o un punto extremo a ó b del dominio [a,b] de definición de la función. Puntos máximos y mínimos Máximos y mínimos, conocido colectivamente como extrema, sea el valor más grande (máximo) o el valor más pequeño (mínimo). Recordemos también que si f derivable posee un máximo o un mínimo relativo en entonces f´(x) = 0; es decir, ese es un punto de tangente horizontal. Veamos los criterios básicos para decidir si un punto es máximo o mínimo relativo: 1. Por la definición en un entorno del punto. 2. Por la variación del signo de la derivada primera en un entorno del punto, aunque la función no sea derivable en dicho punto: a. f decreciente en (a,c) y creciente en (c,b) posee un mínimo en (c,f(c)). b. f creciente en (a,c) y decreciente en (c,b) posee un máximo en (c,f(c)). 1. EJEMPLOS Por el signo de la derivada segunda en dicho punto (la función ha de ser dos veces derivable). a. Si f´(a) = 0 y f´´(x) > 0, f posee en a un mínimo local.
b. Si f´(a) = 0 y f´´(x) < 0, f posee en a un máximo local. Encontrar máximos y mínimos Encontrar máximos y mínimos globales es la meta de optimización. Si una función es continua en un intervalo cerrado, entonces por teorema extremo del valor los máximos y los mínimos globales existen. Además, un máximo global (o el mínimo) debe ser un máximo local (o mínimo) dentro del dominio, o debe mentir en el límite del dominio. Puntos de inflexión Un punto I(a,f(a)) es de inflexión si en dicho punto la función pasa de cóncava a convexa o viceversa. Proposición. Sea f dos veces derivable en a. Si a es punto de inflexión, entonces f´´(a) = 0 Demostración: Si es f´´(a) > 0 ó f´´(a) < 0 y sería convexa o cóncava.
Un punto de inflexión es un punto donde los valores de x de una función continua pasan de un tipo de concavidad a otro. La curva "atraviesa" la tangente. Matemáticamente la derivada segunda de la función f en el punto de inflexión es cero, o no existe.
En el cálculo de varias variables a estos puntos de inflexión se les conoce como puntos de ensilladura.
Criterios de la primera derivada
La base del presente criterio radica en observar que los máximos o mínimos locales son consecuencia de observar los siguientes hechos:
1.- Cuando la derivada es positiva la función crece.
2.- Cuando la derivada es negativa la función decrece.
3.- Cuando la derivada es cero la función tiene un máximo o un mínimo.
Sea f(x) una función y c un número en su dominio. Supongamos que existe a y b con ac en el intervalo.
Entonces f tiene un máximo local en c.
Nótese que un criterio similar puede tenerse para obtener un mínimo local, solo es necesario intercambiar “positivo” por “negativo”.
Criterios de la segunda derivada
El Criterio o prueba de la segunda derivada es un teorema o método del cálculo matemático en el que se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba simple correspondiente a los máximos y mínimos relativos.
Se basa en el hecho de que si la gráfica de una función f es cóncava hacia arriba en un intervalo abierto que contiene a c, y f'(c) = 0,f(c)debe ser un mínimo relativo de f. De manera similar, si la gráfica de una función es cóncava hacia abajo en un intervalo abierto que contiene a c y f'(c) = 0,f(c)debe ser un máximo relativo de f.
Sea f una función tal que f'(c) = 0 y la segunda derivada de f existe en un intervalo abierto que contiene a c
1. Si f''(c) > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en (c,f(c)).
2. Si f''(c) < 0, entonces f tiene un máximo relativo en (c,f(c)). Si f''(c) = 0, entonces el criterio falla. Esto es, f quizás tenga un máximo relativo en c, un mínimo relativo en (c,f(c)) o ninguno de los dos. En tales casos, se puede utilizar el criterio de la primera derivada o el criterio de la tercera derivada Ejemplo: Y= 20+e/3-2x exp3 Y=20+1/3e-2x exp3 Derivar Y’ =0+1/3*e-2x exp3*(-6x2) Y´=2x2*e-2x exp3 Se deriva nuevamente, esa es la segunda derivada: Y´´= -4x*e-2x exp3+ (-2x2)* e-2x exp3*(-6x2) a´ b a b´ y´´= -4xe-2x exp3+12x4e-2x exp3 Se puede factoríza. Puntos críticos Por punto crítico se entiende: un punto singular, un punto donde no exista la derivada o un punto extremo a ó b del dominio [a,b] de definición de la función. Puntos máximos y mínimos Máximos y mínimos, conocido colectivamente como extrema, sea el valor más grande (máximo) o el valor más pequeño (mínimo). Recordemos también que si f derivable posee un máximo o un mínimo relativo en entonces f´(x) = 0; es decir, ese es un punto de tangente horizontal. Veamos los criterios básicos para decidir si un punto es máximo o mínimo relativo: 1. Por la definición en un entorno del punto. 2. Por la variación del signo de la derivada primera en un entorno del punto, aunque la función no sea derivable en dicho punto: a. f decreciente en (a,c) y creciente en (c,b) posee un mínimo en (c,f(c)). b. f creciente en (a,c) y decreciente en (c,b) posee un máximo en (c,f(c)). Por el signo de la derivada segunda en dicho punto (la función ha de ser dos veces derivable). a. Si f´(a) = 0 y f´´(x) > 0, f posee en a un mínimo local.
b. Si f´(a) = 0 y f´´(x) < 0, f posee en a un máximo local. Encontrar máximos y mínimos Encontrar máximos y mínimos globales es la meta de optimización. Si una función es continua en un intervalo cerrado, entonces por teorema extremo del valor los máximos y los mínimos globales existen. Además, un máximo global (o el mínimo) debe ser un máximo local (o mínimo) dentro del dominio, o debe mentir en el límite del dominio. Puntos de inflexión Un punto I(a,f(a)) es de inflexión si en dicho punto la función pasa de cóncava a convexa o viceversa. Proposición. Sea f dos veces derivable en a. Si a es punto de inflexión, entonces f´´(a) = 0 Demostración: Si es f´´(a) > 0 ó f´´(a) < 0 y sería convexa o cóncava.
Un punto de inflexión es un punto donde los valores de x de una función continua pasan de un tipo de concavidad a otro. La curva "atraviesa" la tangente. Matemáticamente la derivada segunda de la función f en el punto de inflexión es cero, o no existe.
En el cálculo de varias variables a estos puntos de inflexión se les conoce como puntos de ensilladura.
La base del presente criterio radica en observar que los máximos o mínimos locales son consecuencia de observar los siguientes hechos:
1.- Cuando la derivada es positiva la función crece.
2.- Cuando la derivada es negativa la función decrece.
3.- Cuando la derivada es cero la función tiene un máximo o un mínimo.
Sea f(x) una función y c un número en su dominio. Supongamos que existe a y b con a
Entonces f tiene un máximo local en c.
Nótese que un criterio similar puede tenerse para obtener un mínimo local, solo es necesario intercambiar “positivo” por “negativo”.
Criterios de la segunda derivada
El Criterio o prueba de la segunda derivada es un teorema o método del cálculo matemático en el que se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba simple correspondiente a los máximos y mínimos relativos.
Se basa en el hecho de que si la gráfica de una función f es cóncava hacia arriba en un intervalo abierto que contiene a c, y f'(c) = 0,f(c)debe ser un mínimo relativo de f. De manera similar, si la gráfica de una función es cóncava hacia abajo en un intervalo abierto que contiene a c y f'(c) = 0,f(c)debe ser un máximo relativo de f.
Sea f una función tal que f'(c) = 0 y la segunda derivada de f existe en un intervalo abierto que contiene a c
1. Si f''(c) > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en (c,f(c)).
2. Si f''(c) < 0, entonces f tiene un máximo relativo en (c,f(c)). Si f''(c) = 0, entonces el criterio falla. Esto es, f quizás tenga un máximo relativo en c, un mínimo relativo en (c,f(c)) o ninguno de los dos. En tales casos, se puede utilizar el criterio de la primera derivada o el criterio de la tercera derivada Ejemplo: Y= 20+e/3-2x exp3 Y=20+1/3e-2x exp3 Derivar Y’ =0+1/3*e-2x exp3*(-6x2) Y´=2x2*e-2x exp3 Se deriva nuevamente, esa es la segunda derivada: Y´´= -4x*e-2x exp3+ (-2x2)* e-2x exp3*(-6x2) a´ b a b´ y´´= -4xe-2x exp3+12x4e-2x exp3 Se puede factoríza. Puntos críticos Por punto crítico se entiende: un punto singular, un punto donde no exista la derivada o un punto extremo a ó b del dominio [a,b] de definición de la función. Puntos máximos y mínimos Máximos y mínimos, conocido colectivamente como extrema, sea el valor más grande (máximo) o el valor más pequeño (mínimo). Recordemos también que si f derivable posee un máximo o un mínimo relativo en entonces f´(x) = 0; es decir, ese es un punto de tangente horizontal. Veamos los criterios básicos para decidir si un punto es máximo o mínimo relativo: 1. Por la definición en un entorno del punto. 2. Por la variación del signo de la derivada primera en un entorno del punto, aunque la función no sea derivable en dicho punto: a. f decreciente en (a,c) y creciente en (c,b) posee un mínimo en (c,f(c)). b. f creciente en (a,c) y decreciente en (c,b) posee un máximo en (c,f(c)). Por el signo de la derivada segunda en dicho punto (la función ha de ser dos veces derivable). a. Si f´(a) = 0 y f´´(x) > 0, f posee en a un mínimo local.
b. Si f´(a) = 0 y f´´(x) < 0, f posee en a un máximo local. Encontrar máximos y mínimos Encontrar máximos y mínimos globales es la meta de optimización. Si una función es continua en un intervalo cerrado, entonces por teorema extremo del valor los máximos y los mínimos globales existen. Además, un máximo global (o el mínimo) debe ser un máximo local (o mínimo) dentro del dominio, o debe mentir en el límite del dominio. Puntos de inflexión Un punto I(a,f(a)) es de inflexión si en dicho punto la función pasa de cóncava a convexa o viceversa. Proposición. Sea f dos veces derivable en a. Si a es punto de inflexión, entonces f´´(a) = 0 Demostración: Si es f´´(a) > 0 ó f´´(a) < 0 y sería convexa o cóncava.
Un punto de inflexión es un punto donde los valores de x de una función continua pasan de un tipo de concavidad a otro. La curva "atraviesa" la tangente. Matemáticamente la derivada segunda de la función f en el punto de inflexión es cero, o no existe.
En el cálculo de varias variables a estos puntos de inflexión se les conoce como puntos de ensilladura.
¿Qué Es una derivada?
Representa cómo una función cambia (valor de la variable dependiente) a medida que su entrada (valor de la variable independiente) cambia. En términos poco rigurosos, una derivada puede ser vista como cuánto está cambiando el valor de una función en un punto dado (o sea su velocidad de variación).
La derivada de una función en un valor de entrada dado que describe la mejor aproximación lineal de una función cerca del valor de entrada.
Primera derivada
La primera derivada no es solo útil en el trazado de las curvas para determinar los extremos relativos, sino, también, para determinar los intervalos donde crece y decrece una curva.
Derivada de una función constante
Sea una función constante f(x) = C.
Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para cualquier valor de la abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a C, si a es un punto cualquiera del campo de definición de f(x), f(a + h) - f(a) = C - C = 0, por lo que
Luego la derivada de una constante es siempre cero.
Derivada de una función exponencial
La derivada de la función exponencial de base e igual a la misma función por la derivada del exponente.
La derivada de la función exponencial e igual a la misma función por el logaritmo de la base y por la derivada del exponente.
Derivada de un producto
La derivada del producto de dos funciones es igual al primer factor por la derivada del segundo más el segundo factor por la derivada del primero.
Derivada de un cociente
La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador menos la derivada del denominador por el numerador, divididas por el cuadrado del denominador.
Derivada de una raíz
La derivada de la raíz enésima de una función es igual a la derivada del radicando partida por la n veces la raíz enésima de la función radicando elevada a n menos uno.
Derivación implícita
En los cursos de cálculo la mayor parte de las funciones con que trabajamos están expresadas en forma explícita, como en la ecuación
Dónde la variable y está escrita explícitamente como función de x. Sin embargo, muchas funciones, por el contrario, están implícitas en una ecuación. La función y = 1 / x, viene definida implícitamente por la ecuación: x y = 1.
Si queremos hallar la derivada para esta última ecuación, lo hacemos despejando y, así, y = 1 / x = x -1, obteniendo su derivada fácilmente: .
Ejemplo 1:
Aquí las variables coinciden: se deriva normalmente.
Derivación en cadena
En cálculo, de la derivada de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe composición de funciones.
Por ejemplo si y = f(u) es una función derivable de u y si además u = g(x) es una función derivable de x entonces y = f(g(x)) es una función derivable con:
Representa cómo una función cambia (valor de la variable dependiente) a medida que su entrada (valor de la variable independiente) cambia. En términos poco rigurosos, una derivada puede ser vista como cuánto está cambiando el valor de una función en un punto dado (o sea su velocidad de variación).
La derivada de una función en un valor de entrada dado que describe la mejor aproximación lineal de una función cerca del valor de entrada.
Primera derivada
La primera derivada no es solo útil en el trazado de las curvas para determinar los extremos relativos, sino, también, para determinar los intervalos donde crece y decrece una curva.
Derivada de una función constante
Sea una función constante f(x) = C.
Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para cualquier valor de la abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a C, si a es un punto cualquiera del campo de definición de f(x), f(a + h) - f(a) = C - C = 0, por lo que
Luego la derivada de una constante es siempre cero.
Derivada de una función exponencial
La derivada de la función exponencial de base e igual a la misma función por la derivada del exponente.
La derivada de la función exponencial e igual a la misma función por el logaritmo de la base y por la derivada del exponente.
Derivada de un producto
La derivada del producto de dos funciones es igual al primer factor por la derivada del segundo más el segundo factor por la derivada del primero.
Derivada de un cociente
La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador menos la derivada del denominador por el numerador, divididas por el cuadrado del denominador.
Derivada de una raíz
La derivada de la raíz enésima de una función es igual a la derivada del radicando partida por la n veces la raíz enésima de la función radicando elevada a n menos uno.
Derivación implícita
En los cursos de cálculo la mayor parte de las funciones con que trabajamos están expresadas en forma explícita, como en la ecuación
Dónde la variable y está escrita explícitamente como función de x. Sin embargo, muchas funciones, por el contrario, están implícitas en una ecuación. La función y = 1 / x, viene definida implícitamente por la ecuación: x y = 1.
Si queremos hallar la derivada para esta última ecuación, lo hacemos despejando y, así, y = 1 / x = x -1, obteniendo su derivada fácilmente: .
Ejemplo 1:
Aquí las variables coinciden: se deriva normalmente.
Derivación en cadena
En cálculo, de la derivada de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe composición de funciones.
Por ejemplo si y = f(u) es una función derivable de u y si además u = g(x) es una función derivable de x entonces y = f(g(x)) es una función derivable con:
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